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    <title>机器学习——Classification | J Sir</title>
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                <p>本文基于<a target="_blank" rel="noopener" href="https://github.com/Sakura-gh">Sakura-gh</a>大佬的机器学习笔记修改，仅作为学习资料备用，如有侵权，联系作者。</p>
<span id="more"></span>
<h1 id="Classification-Probabilistic-Generative-Model"><a href="#Classification-Probabilistic-Generative-Model" class="headerlink" title="Classification: Probabilistic Generative Model"></a>Classification: Probabilistic Generative Model</h1><h4 id="Classification"><a href="#Classification" class="headerlink" title="Classification"></a>Classification</h4><h5 id="概念描述"><a href="#概念描述" class="headerlink" title="概念描述"></a>概念描述</h5><p>分类问题是找一个function，它的input是一个object，它的输出是这个object属于哪一个class</p>
<p>还是以宝可梦为例，已知宝可梦有18种属性，现在要解决的分类问题就是做一个宝可梦种类的分类器，我们要找一个function，这个function的input是某一只宝可梦，它的output就是这只宝可梦属于这18类别中的哪一个type</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/pokemon-types.png" width="60%;"></center>


<h5 id="输入数值化"><a href="#输入数值化" class="headerlink" title="输入数值化"></a>输入数值化</h5><p>对于宝可梦的分类问题来说，我们需要解决的第一个问题就是，怎么把某一只宝可梦当做function的input？</p>
<p>==<strong>要想把一个东西当做function的input，就需要把它数值化</strong>==</p>
<p>特性数值化：用一组数字来描述一只宝可梦的特性</p>
<p>比如用一组数字表示它有多强(total strong)、它的生命值(HP)、它的攻击力(Attack)、它的防御力(Defense)、它的特殊攻击力(Special Attack)、它的特殊攻击的防御力(Special defend)、它的速度(Speed)</p>
<p>以皮卡丘为例，我们可以用以上七种特性的数值所组成的vector来描述它</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/pokemon-features.png" width="60%;"></center>


<h4 id="How-to-classification"><a href="#How-to-classification" class="headerlink" title="How to classification"></a>How to classification</h4><h5 id="Training-data-for-Classification"><a href="#Training-data-for-Classification" class="headerlink" title="Training data for Classification"></a>Training data for Classification</h5><p>假设我们把编号400以下的宝可梦当做training data，编号400以上的当做testing data，因为宝可梦随着版本更新是不断增加的，编号比较前面的宝可梦是比较早发现的，所以我们去模拟已经发现这些宝可梦的情况下，如果看到新的宝可梦，能不能够预测它是哪种属性</p>
<h5 id="Classification-as-Regression？"><a href="#Classification-as-Regression？" class="headerlink" title="Classification as Regression？"></a>Classification as Regression？</h5><h6 id="可以把分类问题当做回归问题来解吗？"><a href="#可以把分类问题当做回归问题来解吗？" class="headerlink" title="可以把分类问题当做回归问题来解吗？"></a>可以把分类问题当做回归问题来解吗？</h6><p>以binary classification为例，我们在Training时让输入为class 1的输出为1，输入为class 2的输出为-1；那么在testing的时候，regression的output是一个数值，它接近1则说明它是class 1，它接近-1则说明它是class 2</p>
<h6 id="如果这样做，会遇到什么样的问题？"><a href="#如果这样做，会遇到什么样的问题？" class="headerlink" title="如果这样做，会遇到什么样的问题？"></a>如果这样做，会遇到什么样的问题？</h6><p>假设现在我们的model是$y=b+w_1\cdot x_1+w_2\cdot x_2$，input是两个feature，$x_1$和$x_2$</p>
<p>有两个class，蓝色的是class 1，红色的是class 2，如果用Regression的做法，那么就希望蓝色的这些属于class 1的宝可梦，input到Regression的model，output越接近1越好；红色的属于class 2的宝可梦，input到Regression的model，output越接近-1越好</p>
<p>假设我们真的找到了这个function，就像下图左边所示，绿色的线表示$b+w_1 x_1+w_2 x_2=0$，也就是class 1和class 2的分界线，这种情况下，值接近-1的宝可梦都集中在绿线的左上方，值接近1的宝可梦都集中在绿线的右下方，这样的表现是蛮好的</p>
<p>但是上述现象只会出现在样本点比较集中地分布在output为-1和1的情况，如果像下图右侧所示，我们已经知道绿线为最好的那个model的分界线，它的左上角的值小于0，右下角的值大于0，越往右下方值越大，所以如果要考虑右下角这些点的话，用绿线对应的model，它们做Regression的时候output会是远大于1的，但是你做Regression的时候，实际上已经给所有的点打上了-1或1的标签(把-1或1当做“真值”)，你会希望这些紫色点在model中的output都越接近1(接近所谓的“真值”)越好，所以这些output远大于1的点，它对于绿线对应的model来说是error，是不好的，所以这组样本点通过Regression训练出来的model，会是紫色这条分界线对应的model，因为相对于绿线，它“减小”了由右下角这些点所带来的error</p>
<p>Regression的output是连续性质的数值，而classification要求的output是离散性质的点，我们很难找到一个Regression的function使大部分样本点的output都集中在某几个离散的点附近</p>
<p>因此，<strong>Regression定义model好坏的定义方式对classification来说是不适用的</strong></p>
<p>注：该图为三维图像在二维图像上的投影，颜色表示y的大小</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/classification-regression.png" width="60%;"></center>


<p>而且值得注意的是，如果是多元分类问题，把class 1的target当做是1，class 2的target当做是2，class 3的target当做是3的做法是错误的，因为当你这样做的时候，就会被Regression认为class 1和class 2的关系是比较接近的，class 2和class 3的关系是比较接近的，而class 1和class 3的关系是比较疏远的；但是当这些class之间并没有什么特殊的关系的时候，这样的标签用Regression是没有办法得到好的结果的(one-hot编码也许是一种解决方案？)</p>
<h5 id="Ideal-Alternatives"><a href="#Ideal-Alternatives" class="headerlink" title="Ideal Alternatives"></a>Ideal Alternatives</h5><blockquote>
<p>注意到Regression的output是一个real number，但是在classification的时候，它的output是discrete(用来表示某一个class)</p>
</blockquote>
<p>理想的方法是这样的：</p>
<h6 id="Function-Model"><a href="#Function-Model" class="headerlink" title="Function(Model)"></a>Function(Model)</h6><p>我们要找的function f(x)里面会有另外一个function g(x)，当我们的input x输入后，如果g(x)&gt;0，那f(x)的输出就是class 1，如果g(x)&lt;0，那f(x)的输出就是class 2，这个方法保证了function的output都是离散的表示class的数值</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/ideal-alternatives.png" width="60%;"></center>


<p>那之前不是说输出是1,2,3…是不行的吗，注意，那是针对Regression的loss function而言的，因为Regression的loss function是用output与“真值”的平方和作为评判标准的，这样输出值(3,2)与(3,1)之间显然是(3,2)关系更密切一些，为了解决这个问题，我们只需要重新定义一个loss function即可</p>
<h6 id="Loss-function"><a href="#Loss-function" class="headerlink" title="Loss function"></a>Loss function</h6><p>我们可以把loss function定义成$L(f)=\sum\limits_n\delta(f(x^n)≠\hat{y}^n)$，即这个model在所有的training data上predict预测错误的次数，也就是说分类错误的次数越少，这个function表现得就越好</p>
<p>但是这个loss function没有办法微分，是无法用gradient descent的方法去解的，当然有Perceptron、SVM这些方法可以用，但这里先用另外一个solution来解决这个问题</p>
<h4 id="Solution：Generative-model"><a href="#Solution：Generative-model" class="headerlink" title="Solution：Generative model"></a>Solution：Generative model</h4><h5 id="概率理论解释"><a href="#概率理论解释" class="headerlink" title="概率理论解释"></a>概率理论解释</h5><p>假设我们考虑一个二元分类的问题，我们拿到一个input x，想要知道这个x属于class 1或class 2的概率</p>
<p>实际上就是一个贝叶斯公式，x属于class 1的概率就等于class 1自身发生的概率乘上在class 1里取出x这种颜色的球的概率除以在class 1和 class 2里取出x这种颜色的球的概率(后者是全概率公式)</p>
<p>==<strong>贝叶斯公式=单条路径概率/所有路径概率和</strong>==</p>
<pre class="line-numbers language-mermaid" data-language="mermaid"><code class="language-mermaid">graph LR
A(摸球) --&gt;|从class 1里摸球的概率| B(class 1)
A --&gt;|从class 2里摸球的概率| C(class 2)
B --&gt;|在class 1里摸到x的概率|D(摸到x)
C --&gt;|在class 2里摸到x的概率|D<span aria-hidden="true" class="line-numbers-rows"><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span></span></code></pre>
<p>因此我们想要知道x属于class 1或是class 2的概率，只需要知道4个值：$P(C_1),P(x|C_1),P(C_2),P(x|C_2)$，我们希望从Training data中估测出这四个值</p>
<p>流程图简化如下：</p>
<pre class="line-numbers language-mermaid" data-language="mermaid"><code class="language-mermaid">graph LR
A(begin)
A--&gt; |"P(C1)"| B(Class 1)
A--&gt; |"P(C2)"| C(Class 2)
B--&gt; |"P(x|C1)"| D(x)
C--&gt; |"P(x|C2)"| D(x)<span aria-hidden="true" class="line-numbers-rows"><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span></span></code></pre>
<p>于是我们得到：(分母为全概率公式)</p>
<ul>
<li>x属于Class 1的概率为第一条路径除以两条路径和：$P(C_1|x)=\frac{P(C_1)P(x|C_1)}{P(C_1)P(x|C_1)+P(C_2)P(x|C_2)}$</li>
<li>x属于Class 2的概率为第二条路径除以两条路径和：$P(C_2|x)=\frac{P(C_2)P(x|C_2)}{P(C_1)P(x|C_1)+P(C_2)P(x|C_2)}$</li>
</ul>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/two-class.png" width="60%;"></center>


<p>这一整套想法叫做<strong>Generative model</strong>(生成模型)，为什么叫它Generative model呢？因为有这个model的话，就可以拿它来generate生成x(如果你可以计算出每一个x出现的概率，就可以用这个distribution分布来生成x、sample x出来)</p>
<h5 id="Prior"><a href="#Prior" class="headerlink" title="Prior"></a>Prior</h5><p>$P(C_1)$和$P(C_2)$这两个概率，被称为Prior，计算这两个值还是比较简单的</p>
<p>假设我们还是考虑二元分类问题，编号小于400的data用来Training，编号大于400的data用来testing，如果想要严谨一点，可以在Training data里面分一部分validation出来模拟testing的情况</p>
<p>在Training data里面，有79只水系宝可梦，61只一般系宝可梦，那么$P(C_1)=79/(79+61)=0.56$，$P(C_2)=61/(79+61)=0.44$</p>
<p>现在的问题是，怎么得到$P(x|C_1)$和$P(x|C_2)$的值</p>
<h5 id="Probability-from-Class"><a href="#Probability-from-Class" class="headerlink" title="Probability from Class"></a>Probability from Class</h5><p>怎么得到$P(x|C_1)$和$P(x|C_2)$的值呢？假设我们的x是一只新来的海龟，它显然是水系的，但是在我们79只水系的宝可梦training data里面根本就没有海龟，所以挑一只海龟出来的可能性根本就是0啊！所以该怎么办呢？</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/turtle.png" width="60%;"></center>


<p>其实每一只宝可梦都是用一组特征值组成的向量来表示的，在这个vector里一共有七种不同的feature，为了方便可视化，这里先只考虑Defense和SP Defence这两种feature</p>
<p>假设海龟的vector是[103 45]，虽然这个点在已有的数据里并没有出现过，但是不可以认为它出现的概率为0，我们需要用已有的数据去估测海龟出现的可能性</p>
<p>你可以想象说这已有的79只水系宝可梦的data其实只是冰山一角，假定水系神奇宝贝的Defense和SP Defense是从一个Gaussian的distribution里面sample出来的，下图只是采样了79个点之后得到的分布，但是从高斯分布里采样出海龟这个点的几率并不是0，那从这79个已有的点，怎么找到那个Gaussian distribution函数呢？</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/feature.png" width="60%;"></center>


<h5 id="Gaussian-Distribution"><a href="#Gaussian-Distribution" class="headerlink" title="Gaussian Distribution"></a>Gaussian Distribution</h5><p>先介绍一下高斯函数，这里$u$表示均值，$\Sigma$表示方差，两者都是矩阵matrix，那高斯函数的概率密度函数则是：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
f_{u,\Sigma}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{D}{2}}}\frac{1}{|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(x-u)^T\Sigma^{-1}(x-u)}</script><p>从下图中可以看出，同样的$\Sigma$，不同的$u$，概率分布最高点的地方是不一样的</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/gaussian-distribution.png" width="60%;"></center>


<p>同理，如果是同样的$u$，不同的$\Sigma$，概率分布最高点的地方是一样的，但是分布的密集程度是不一样的</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/gaussian-same-u.png" width="60%;"></center>


<p>那接下来的问题就是怎么去找出这个Gaussian，<strong>只需要去估测出这个Gaussian的均值$u$和协方差$\Sigma$即可</strong></p>
<p>估测$u$和$\Sigma$的方法就是极大似然估计法(Maximum Likelihood)，极大似然估计的思想是，==找出最特殊的那对$u$和$\Sigma$，从它们共同决定的高斯函数中再次采样出79个点，使”得到的分布情况与当前已知79点的分布情况相同“这件事情发生的可能性最大==</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/maximum-likelihood.png" width="60%;"></center>


<p>实际上任意一组$u$和$\Sigma$对应的高斯函数($u$表示该Gaussian的中心点，$\Sigma$表示该Gaussian的分散程度)都有可能sample出跟当前分布一致的样本点，就像上图中的两个红色圆圈所代表的高斯函数，但肯定存在着发生概率最大的哪一个Gaussian，而这个函数就是我们要找的</p>
<p>而极大似然函数$L(u,\Sigma)=f_{u,\Sigma}(x^1)\cdot f_{u,\Sigma}(x^2)…f_{u,\Sigma}(x^{79})$，实际上就是该事件发生的概率就等于每个点都发生的概率之积，我们只需要把每一个点的data代进去，就可以得到一个关于$u$和$\Sigma$的函数，分别求偏导，解出微分是0的点，即使L最大的那组参数，便是最终的估测值，通过微分得到的高斯函数的$u$和$\Sigma$的最优解如下：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
u^*,\Sigma^*=\arg \max\limits_{u,\Sigma} L(u,\Sigma) \\
u^*=\frac{1}{79}\sum\limits_{n=1}^{79}x^n \ \ \ \ \Sigma^*=\frac{1}{79}\sum\limits_{n=1}^{79}(x^n-u^*)(x^n-u^*)^T</script><p>当然如果你不愿意去现场求微分的话，这也可以当做公式来记忆($u^<em>$刚好是数学期望，$\Sigma^</em>$刚好是协方差)</p>
<p>注：数学期望：$u=E(X)$，协方差：$\Sigma=cov(X,Y)=E[(X-u)(Y-u)^T]$，对同一个变量来说，协方差为$cov(X,X)=E[(X-u)(X-u)^T$</p>
<p>根据上述的公式和已有的79个点的数据，计算出class 1的两个参数：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
u=
\begin{bmatrix}
75.0\\
71.3
\end{bmatrix} \ \ \ \ \ 
\Sigma=
\begin{bmatrix}
874 \ \ 327\\
327 \ \ 929
\end{bmatrix}</script><center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/gaussian.png" width="60%;"></center>


<p>同理，我们用极大似然估计法在高斯函数上的公式计算出class 2的两个参数，得到的最终结果如下：</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/maximum-2case.png" width="60%;"></center>


<p>有了这些以后，我们可以得到$P(C_1),P(x|C_1),P(C_2),P(x|C_2)$这四个值，就可以开始做分类的问题了</p>
<h4 id="Do-Classification！"><a href="#Do-Classification！" class="headerlink" title="Do Classification！"></a>Do Classification！</h4><h5 id="已有的准备"><a href="#已有的准备" class="headerlink" title="已有的准备"></a>已有的准备</h5><p>现在我们已经有了以下数据和具体分布：</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/do-classification.png" width="60%;"></center>


<p>只要带入某一个input x，就可以通过这个式子计算出它是否是class 1了！</p>
<h5 id="得到的结果"><a href="#得到的结果" class="headerlink" title="得到的结果"></a>得到的结果</h5><p>通过可视化得到的结果如下：</p>
<p>左上角的图中，横轴是Defense，纵轴是SP Defense，蓝色的点是水系的宝可梦的分布，红色的点是一般系的宝可梦的分布，对图中的每一个点都计算出它是class 1的概率$P(C_1|x)$，这个概率用颜色来表示，如果某点在红色区域，表示它是水系宝可梦的概率更大；如果该点在其他颜色的区域，表示它是水系宝可梦的概率比较小</p>
<p>因为我们做的是分类问题，因此令几率&gt;0.5的点为类别1，几率&lt;0.5的点为类别2，也就是右上角的图中的红色和蓝色两块区域</p>
<p>再把testing data上得到的结果可视化出来，即右下角的图，发现分的不是太好，正确率才是47%</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/classification-result.png" width="60%;"></center>


<p>我们之前用的只是Defense和SP Defense这两个参数，在二维空间上得到的效果不太好，但实际上一开始就提到了宝可梦总共是有6个features的，也许在二维空间上它们是重叠在一起的，但是在六维空间上看它们也许会分得很好，每一个宝可梦都是六维空间中的一个点，于是我们的$u$是一个6-dim的vector，$\Sigma$则是一个6*6的matrix，发现得到的准确率也才64%，这个分类器表现得很糟糕，是否有办法将它改进的更好？</p>
<h4 id="Modifying-Model"><a href="#Modifying-Model" class="headerlink" title="Modifying Model"></a>Modifying Model</h4><p>其实之前使用的model是不常见的，你是不会经常看到给每一个Gaussian都有自己的mean和covariance，比如我们的class 1用的是$u_1$和$\Sigma_1$，class 2用的是$u_2$和$\Sigma_2$，比较常见的做法是，==<strong>不同的class可以share同一个cocovariance matrix</strong>==</p>
<p>其实variance是跟input的feature size的平方成正比的，所以当feature的数量很大的时候，$\Sigma$大小的增长是可以非常快的，在这种情况下，给不同的Gaussian以不同的covariance matrix，会造成model的参数太多，而参数多会导致该model的variance过大，出现overfitting的现象，因此对不同的class使用同一个covariance matrix，可以有效减少参数</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/modify-model.png" width="60%;"></center>


<p>此时就把$u_1$、$u_2$和共同的$\Sigma$一起去合成一个极大似然函数，此时可以发现，得到的$u_1$和$u_2$和原来一样，还是各自的均值，而$\Sigma$则是原先两个$\Sigma_1$和$\Sigma_2$的加权</p>
<p>再来看一下结果，你会发现，class 1和class 2在没有共用covariance matrix之前，它们的分界线是一条曲线；如果共用covariance matrix的话，它们之间的分界线就会变成一条直线，这样的model，我们也称之为linear model(尽管Gaussian不是linear的，但是它分两个class的boundary是linear)</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/modify-compare.png" width="60%;"></center>


<p>如果我们考虑所有的feature，并共用covariance的话，原来的54%的正确率就会变成73%，显然是有分对东西的，但是为什么会做到这样子，我们是很难分析的，因为这是在高维空间中发生的事情，我们很难知道boundary到底是怎么切的，但这就是machine learning它fancy的地方，人没有办法知道怎么做，但是machine可以帮我们做出来</p>
<h4 id="Three-Steps-of-classification"><a href="#Three-Steps-of-classification" class="headerlink" title="Three Steps of classification"></a>Three Steps of classification</h4><p>现在让我们来回顾一下做classification的三个步骤，实际上也就是做machine learning的三个步骤</p>
<ul>
<li><p>Find a function set(model)</p>
<p>  这些required probability $P(C)$和probability distribution $P(x|C)$就是model的参数，选择不同的Probability distribution(比如不同的分布函数，或者是不同参数的Gaussian distribution)，就会得到不同的function，把这些不同参数的Gaussian distribution集合起来，就是一个model，如果不适用高斯函数而选择其他分布函数，就是一个新的model了</p>
<p>  当这个posterior Probability $P(C|x)&gt;0.5$的话，就output class 1，反之就output class 2($P(C_1|x)+P(C_2|x)=1$，因此没必要对class 2再去计算一遍)</p>
</li>
<li><p>Goodness of function</p>
<p>  对于Gaussian distribution这个model来说，我们要评价的是决定这个高斯函数形状的均值$u$和协方差$\Sigma$这两个参数的好坏，而极大似然函数$L(u,\Sigma)$的输出值，就评价了这组参数的好坏</p>
</li>
<li><p>Find the best function</p>
<p>  找到的那个最好的function，就是使$L(u,\Sigma)$值最大的那组参数，实际上就是所有样本点的均值和协方差</p>
<script type="math/tex; mode=display">
  u^*=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n x^i \ \ \ \ \Sigma^*=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n (x^i-u^*)(x^i-u^*)^T</script><p>  这里上标i表示第i个点，这里x是一个features的vector，用下标来表示这个vector中的某个feature</p>
</li>
</ul>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/three-steps.png" width="60%;"></center>


<h4 id="Probability-distribution"><a href="#Probability-distribution" class="headerlink" title="Probability distribution"></a>Probability distribution</h4><h5 id="Why-Gaussian-distribution"><a href="#Why-Gaussian-distribution" class="headerlink" title="Why Gaussian distribution"></a>Why Gaussian distribution</h5><p>你也许一直会有一个疑惑，为什么我们就要用Gaussian的model，而不选择别的分布函数，其实这里只是拿高斯分布函数举一个例子而已，你当然可以选择自己喜欢的Probability distribution概率分布函数，如果你选择的是简单的分布函数(参数比较少)，那你的bias就大，variance就小；如果你选择复杂的分布函数，那你的bias就小，variance就大，那你就可以用data set来判断一下，用什么样的Probability distribution作为model是比较好的</p>
<h5 id="Naive-Bayes-Classifier-朴素贝叶斯分类法"><a href="#Naive-Bayes-Classifier-朴素贝叶斯分类法" class="headerlink" title="Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)"></a>Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)</h5><p>我们可以考虑这样一件事情，假设$x=[x_1 \ x_2 \ x_3 \ … \ x_k \ … \ ]$中每一个dimension $x_k$的分布都是相互独立的，它们之间的covariance都是0，那我们就可以把x产生的几率拆解成$x_1,x_2,…,x_k$产生的几率之积</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/distribution.png" width="60%;"></center>


<p>这里每一个dimension的分布函数都是一维的Gaussian distribution，如果这样假设的话，等于是说，原来那多维度的Gaussian，它的covariance matrix变成是diagonal(对角的)，在不是对角线的地方，值都是0，这样就可以更加减少需要的参数量，就可以得到一个更简单的model</p>
<p>我们把上述这种方法叫做==<strong>Naive Bayes Classifier(朴素贝叶斯分类法)</strong>==，如果真的明确了<u>所有的feature之间是相互独立的</u>，是不相关的，使用朴素贝叶斯分类法的performance是会很好的，如果这个假设是不成立的，那么Naive bayes classfier的bias就会很大，它就不是一个好的classifier(朴素贝叶斯分类法本质就是减少参数)</p>
<p>当然这个例子里如果使用这样的model，得到的结果也不理想，因为各种feature之间的covariance还是必要的，比如战斗力和防御力它们之间是正相关的，covariance不能等于0</p>
<p>总之，寻找model总的原则是，尽量减少不必要的参数，但是必然的参数绝对不能少</p>
<p>那怎么去选择分布函数呢？有很多时候凭直觉就可以看出来，比如宝可梦有某个feature是binary的，它代表的是：是或不是，这个时候就不太可能是高斯分布了，而很有可能是伯努利分布(两点分布)</p>
<h5 id="Analysis-Posterior-Probability"><a href="#Analysis-Posterior-Probability" class="headerlink" title="Analysis Posterior Probability"></a>Analysis Posterior Probability</h5><p>接下来我们来分析一下这个后置概率的表达式，会发现一些有趣的现象</p>
<p>表达式上下同除以分子，得到$\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$，这个function叫做sigmoid function(<a target="_blank" rel="noopener" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/S%E5%87%BD%E6%95%B0">S函数</a>)</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/posterior-probability.png" width="60%;"></center>


<p>这个S函数是已知逻辑函数，现在我们来推导一下z<strong>真正的样子</strong>，推导过程如下：</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/z1.png" width="60%;"></center><br>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/z2.png" width="60%;"></center><br>


<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/z3.png" width="60%;"></center>


<p>上面的推导过程可能比较复杂，但是得到的最终结果还是比较好的：(当$\Sigma_1$和$\Sigma_2$共用一个$\Sigma$时，经过化简相消z就变成了一个linear的function，x的系数是一个vector w，后面的一大串数字其实就是一个常数项b)</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/z-final.png" width="60%;"></center>

<p>==<strong>$P(C_1|x)=\sigma (w\cdot x+b)$这个式子就解释了，当class 1和class 2共用$\Sigma$的时候，它们之间的boundary会是linear的</strong>==</p>
<p>那在Generative model里面，我们做的事情是，我们用某些方法去找出$N_1,N_2,u_1,u_2,\Sigma$，找出这些以后就算出w和b，把它们代进$P(C_1|x)=\sigma(w\cdot x+b)$这个式子，就可以算概率，但是，当你看到这个式子的时候，你可能会有一个直觉的想法，为什么要这么麻烦呢？我们的最终目标都是要找一个vector w和const b，我们何必先去搞个概率，算出一些$u,\Sigma$什么的，然后再回过头来又去算w和b，这不是舍近求远吗？</p>
<p>所以我们能不能直接把w和b找出来呢？这是下一章节的内容</p>

                
            </div>
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                    <i class="fas fa-copyright">
                        版权声明:
                    </i>
                </span>
                <span class="reprint-info">
                    本博客所有文章除特別声明外，均采用
                    <a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.zh" rel="external nofollow noreferrer" target="_blank">CC BY 4.0</a>
                    许可协议。转载请注明来源
                    <a href="/about" target="_blank">J Sir</a>
                    !
                </span>
            </div>
        
    </div>

    <script async defer>
      document.addEventListener("copy", function (e) {
        let toastHTML = '<span>复制成功，请遵循本文的转载规则</span><button class="btn-flat toast-action" onclick="navToReprintStatement()" style="font-size: smaller">查看</a>';
        M.toast({html: toastHTML})
      });

      function navToReprintStatement() {
        $("html, body").animate({scrollTop: $("#reprint-statement").offset().top - 80}, 800);
      }
    </script>



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                                <a href="/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/">
                                    <span class="chip bg-color">机器学习</span>
                                </a>
                            
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    #reward {
        margin: 40px 0;
        text-align: center;
    }

    #reward .reward-link {
        font-size: 1.4rem;
        line-height: 38px;
    }

    #reward .btn-floating:hover {
        box-shadow: 0 6px 12px rgba(0, 0, 0, 0.2), 0 5px 15px rgba(0, 0, 0, 0.2);
    }

    #rewardModal {
        width: 320px;
        height: 350px;
    }

    #rewardModal .reward-title {
        margin: 15px auto;
        padding-bottom: 5px;
    }

    #rewardModal .modal-content {
        padding: 10px;
    }

    #rewardModal .close {
        position: absolute;
        right: 15px;
        top: 15px;
        color: rgba(0, 0, 0, 0.5);
        font-size: 1.3rem;
        line-height: 20px;
        cursor: pointer;
    }

    #rewardModal .close:hover {
        color: #ef5350;
        transform: scale(1.3);
        -moz-transform:scale(1.3);
        -webkit-transform:scale(1.3);
        -o-transform:scale(1.3);
    }

    #rewardModal .reward-tabs {
        margin: 0 auto;
        width: 210px;
    }

    .reward-tabs .tabs {
        height: 38px;
        margin: 10px auto;
        padding-left: 0;
    }

    .reward-content ul {
        padding-left: 0 !important;
    }

    .reward-tabs .tabs .tab {
        height: 38px;
        line-height: 38px;
    }

    .reward-tabs .tab a {
        color: #fff;
        background-color: #ccc;
    }

    .reward-tabs .tab a:hover {
        background-color: #ccc;
        color: #fff;
    }

    .reward-tabs .wechat-tab .active {
        color: #fff !important;
        background-color: #22AB38 !important;
    }

    .reward-tabs .alipay-tab .active {
        color: #fff !important;
        background-color: #019FE8 !important;
    }

    .reward-tabs .reward-img {
        width: 210px;
        height: 210px;
    }
</style>

<div id="reward">
    <a href="#rewardModal" class="reward-link modal-trigger btn-floating btn-medium waves-effect waves-light red">赏</a>

    <!-- Modal Structure -->
    <div id="rewardModal" class="modal">
        <div class="modal-content">
            <a class="close modal-close"><i class="fas fa-times"></i></a>
            <h4 class="reward-title">你的赏识是我前进的动力</h4>
            <div class="reward-content">
                <div class="reward-tabs">
                    <ul class="tabs row">
                        <li class="tab col s6 alipay-tab waves-effect waves-light"><a href="#alipay">支付宝</a></li>
                        <li class="tab col s6 wechat-tab waves-effect waves-light"><a href="#wechat">微 信</a></li>
                    </ul>
                    <div id="alipay">
                        <img src="/medias/reward/alipay.jpg" class="reward-img" alt="支付宝打赏二维码">
                    </div>
                    <div id="wechat">
                        <img src="/medias/reward/wechat.png" class="reward-img" alt="微信打赏二维码">
                    </div>
                </div>
            </div>
        </div>
    </div>
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<script>
    $(function () {
        $('.tabs').tabs();
    });
</script>

            
        </div>
    </div>

    

    

    

    

    

    

    

    

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                <a href="/2022/09/29/ji-qi-xue-xi-logistic-regression/">
                    <div class="card-image">
                        
                        
                        <img src="/medias/featureimages/9.jpg" class="responsive-img" alt="机器学习——Logistic Regression">
                        
                        <span class="card-title">机器学习——Logistic Regression</span>
                    </div>
                </a>
                <div class="card-content article-content">
                    <div class="summary block-with-text">
                        
                            本文基于Sakura-gh大佬的机器学习笔记修改，仅作为学习资料备用，如有侵权，联系作者。
                        
                    </div>
                    <div class="publish-info">
                        <span class="publish-date">
                            <i class="far fa-clock fa-fw icon-date"></i>2022-09-29
                        </span>
                        <span class="publish-author">
                            
                            <i class="fas fa-user fa-fw"></i>
                            J Sir
                            
                        </span>
                    </div>
                </div>
                
                <div class="card-action article-tags">
                    
                    <a href="/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/">
                        <span class="chip bg-color">机器学习</span>
                    </a>
                    
                </div>
                
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            </div>
            <div class="card">
                <a href="/2022/09/26/ji-qi-xue-xi-gradient-descent/">
                    <div class="card-image">
                        
                        
                        <img src="/medias/featureimages/14.jpg" class="responsive-img" alt="机器学习——Gradient Descent">
                        
                        <span class="card-title">机器学习——Gradient Descent</span>
                    </div>
                </a>
                <div class="card-content article-content">
                    <div class="summary block-with-text">
                        
                            EverydayOneCat久违的每日一喵去ヾ(≧▽≦*)o

                        
                    </div>
                    <div class="publish-info">
                            <span class="publish-date">
                                <i class="far fa-clock fa-fw icon-date"></i>2022-09-26
                            </span>
                        <span class="publish-author">
                            
                            <i class="fas fa-user fa-fw"></i>
                            J Sir
                            
                        </span>
                    </div>
                </div>
                
                <div class="card-action article-tags">
                    
                    <a href="/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/">
                        <span class="chip bg-color">机器学习</span>
                    </a>
                    
                </div>
                
            </div>
        </div>
        
    </div>
</article>

</div>



<!-- 代码块功能依赖 -->
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<!-- 代码语言 -->

<script type="text/javascript" src="/libs/codeBlock/codeLang.js"></script>


<!-- 代码块复制 -->

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<!-- 代码块收缩 -->

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    </div>
    <div id="toc-aside" class="expanded col l3 hide-on-med-and-down">
        <div class="toc-widget card" style="background-color: white;">
            <div class="toc-title"><i class="far fa-list-alt"></i>&nbsp;&nbsp;目录</div>
            <div id="toc-content"></div>
        </div>
    </div>
</div>

<!-- TOC 悬浮按钮. -->

<div id="floating-toc-btn" class="hide-on-med-and-down">
    <a class="btn-floating btn-large bg-color">
        <i class="fas fa-list-ul"></i>
    </a>
</div>


<script src="/libs/tocbot/tocbot.min.js"></script>
<script>
    $(function () {
        tocbot.init({
            tocSelector: '#toc-content',
            contentSelector: '#articleContent',
            headingsOffset: -($(window).height() * 0.4 - 45),
            collapseDepth: Number('0'),
            headingSelector: 'h1, h2, h3, h4, h5'
        });

        // modify the toc link href to support Chinese.
        let i = 0;
        let tocHeading = 'toc-heading-';
        $('#toc-content a').each(function () {
            $(this).attr('href', '#' + tocHeading + (++i));
        });

        // modify the heading title id to support Chinese.
        i = 0;
        $('#articleContent').children('h1, h2, h3, h4, h5').each(function () {
            $(this).attr('id', tocHeading + (++i));
        });

        // Set scroll toc fixed.
        let tocHeight = parseInt($(window).height() * 0.4 - 64);
        let $tocWidget = $('.toc-widget');
        $(window).scroll(function () {
            let scroll = $(window).scrollTop();
            /* add post toc fixed. */
            if (scroll > tocHeight) {
                $tocWidget.addClass('toc-fixed');
            } else {
                $tocWidget.removeClass('toc-fixed');
            }
        });

        
        /* 修复文章卡片 div 的宽度. */
        let fixPostCardWidth = function (srcId, targetId) {
            let srcDiv = $('#' + srcId);
            if (srcDiv.length === 0) {
                return;
            }

            let w = srcDiv.width();
            if (w >= 450) {
                w = w + 21;
            } else if (w >= 350 && w < 450) {
                w = w + 18;
            } else if (w >= 300 && w < 350) {
                w = w + 16;
            } else {
                w = w + 14;
            }
            $('#' + targetId).width(w);
        };

        // 切换TOC目录展开收缩的相关操作.
        const expandedClass = 'expanded';
        let $tocAside = $('#toc-aside');
        let $mainContent = $('#main-content');
        $('#floating-toc-btn .btn-floating').click(function () {
            if ($tocAside.hasClass(expandedClass)) {
                $tocAside.removeClass(expandedClass).hide();
                $mainContent.removeClass('l9');
            } else {
                $tocAside.addClass(expandedClass).show();
                $mainContent.addClass('l9');
            }
            fixPostCardWidth('artDetail', 'prenext-posts');
        });
        
    });
</script>

    

</main>


<script src="https://cdn.bootcss.com/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>
<script>
    MathJax.Hub.Config({
        tex2jax: {inlineMath: [['$', '$'], ['\(', '\)']]}
    });
</script>



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        <link rel="stylesheet" href="/libs/aplayer/APlayer.min.css">
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    .aplayer .aplayer-lrc p {
        
        display: none;
        
        font-size: 12px;
        font-weight: 700;
        line-height: 16px !important;
    }

    .aplayer .aplayer-lrc p.aplayer-lrc-current {
        
        display: none;
        
        font-size: 15px;
        color: #42b983;
    }

    
    .aplayer.aplayer-fixed.aplayer-narrow .aplayer-body {
        left: -66px !important;
    }

    .aplayer.aplayer-fixed.aplayer-narrow .aplayer-body:hover {
        left: 0px !important;
    }

    
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    <div class="row">
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            Copyright&nbsp;&copy;
            
                <span id="year">2020-2023</span>
            
            <span id="year">2020</span>
            <a href="/about" target="_blank">J Sir</a>
            |&nbsp;Powered by&nbsp;<a href="https://hexo.io/" target="_blank">Hexo</a>
            |&nbsp;Theme&nbsp;<a href="https://github.com/blinkfox/hexo-theme-matery" target="_blank">Matery</a>
            <br>
            
            &nbsp;<i class="fas fa-chart-area"></i>&nbsp;站点总字数:&nbsp;<span
                class="white-color">300.9k</span>&nbsp;字
            
            
            
            
            
            
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                    class="white-color"></span>&nbsp;人
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            <br>
            
            <br>
            
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    <a href="mailto:2065373132@qq.com" class="tooltipped" target="_blank" data-tooltip="邮件联系我" data-position="top" data-delay="50">
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    <a href="tencent://AddContact/?fromId=50&fromSubId=1&subcmd=all&uin=2065373132" class="tooltipped" target="_blank" data-tooltip="QQ联系我: 2065373132" data-position="top" data-delay="50">
        <i class="fab fa-qq"></i>
    </a>







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    </div>
</footer>

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    <!-- 搜索遮罩框 -->
<div id="searchModal" class="modal">
    <div class="modal-content">
        <div class="search-header">
            <span class="title"><i class="fas fa-search"></i>&nbsp;&nbsp;搜索</span>
            <input type="search" id="searchInput" name="s" placeholder="请输入搜索的关键字"
                   class="search-input">
        </div>
        <div id="searchResult"></div>
    </div>
</div>

<script type="text/javascript">
$(function () {
    var searchFunc = function (path, search_id, content_id) {
        'use strict';
        $.ajax({
            url: path,
            dataType: "xml",
            success: function (xmlResponse) {
                // get the contents from search data
                var datas = $("entry", xmlResponse).map(function () {
                    return {
                        title: $("title", this).text(),
                        content: $("content", this).text(),
                        url: $("url", this).text()
                    };
                }).get();
                var $input = document.getElementById(search_id);
                var $resultContent = document.getElementById(content_id);
                $input.addEventListener('input', function () {
                    var str = '<ul class=\"search-result-list\">';
                    var keywords = this.value.trim().toLowerCase().split(/[\s\-]+/);
                    $resultContent.innerHTML = "";
                    if (this.value.trim().length <= 0) {
                        return;
                    }
                    // perform local searching
                    datas.forEach(function (data) {
                        var isMatch = true;
                        var data_title = data.title.trim().toLowerCase();
                        var data_content = data.content.trim().replace(/<[^>]+>/g, "").toLowerCase();
                        var data_url = data.url;
                        data_url = data_url.indexOf('/') === 0 ? data.url : '/' + data_url;
                        var index_title = -1;
                        var index_content = -1;
                        var first_occur = -1;
                        // only match artiles with not empty titles and contents
                        if (data_title !== '' && data_content !== '') {
                            keywords.forEach(function (keyword, i) {
                                index_title = data_title.indexOf(keyword);
                                index_content = data_content.indexOf(keyword);
                                if (index_title < 0 && index_content < 0) {
                                    isMatch = false;
                                } else {
                                    if (index_content < 0) {
                                        index_content = 0;
                                    }
                                    if (i === 0) {
                                        first_occur = index_content;
                                    }
                                }
                            });
                        }
                        // show search results
                        if (isMatch) {
                            str += "<li><a href='" + data_url + "' class='search-result-title'>" + data_title + "</a>";
                            var content = data.content.trim().replace(/<[^>]+>/g, "");
                            if (first_occur >= 0) {
                                // cut out 100 characters
                                var start = first_occur - 20;
                                var end = first_occur + 80;
                                if (start < 0) {
                                    start = 0;
                                }
                                if (start === 0) {
                                    end = 100;
                                }
                                if (end > content.length) {
                                    end = content.length;
                                }
                                var match_content = content.substr(start, end);
                                // highlight all keywords
                                keywords.forEach(function (keyword) {
                                    var regS = new RegExp(keyword, "gi");
                                    match_content = match_content.replace(regS, "<em class=\"search-keyword\">" + keyword + "</em>");
                                });

                                str += "<p class=\"search-result\">" + match_content + "...</p>"
                            }
                            str += "</li>";
                        }
                    });
                    str += "</ul>";
                    $resultContent.innerHTML = str;
                });
            }
        });
    };

    searchFunc('/search.xml', 'searchInput', 'searchResult');
});
</script>

    <!-- 回到顶部按钮 -->
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        <i class="fas fa-arrow-up"></i>
    </a>
</div>


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